它們的補餘，則下面這些等式都是能夠成立的：

（1）A＋A′＝B；B＋B′＝C；等等

（2）B－A′＝A；C－B＝B′；等等

（3）A＋0＝A

（4）A＋A＝A，由此得出A＋B＝B①；等等

（5）（A＋A′）＋B′＝A＋（A′＋B′）②

但：（A＋A）－A。A＋（A－A）

因為：A－A＝0，而A＋0＝A③

①原文為A＋B＝B′有印刷錯誤，故改。——譯註

②原文為（A＋A′）＋B′＝A＋（A′＋B）亦系印刷錯誤，故改。——譯註

③A＋A－A＝A－A＝0而A＋（A－A）＝A＋0＝A所以這兩個並不相等。——譯註

在這個情況下，如A＋F′這樣一個非鄰接的組成就不會產生一個簡單的類，而其結果是：（G－E′－D′－C′－B′－A′）④。再者，這就是一個動物學分類的群集的情況，在這裡“牡蠣＋駱駝”是不能以別的方法結合起來的。雖然數的綜合似乎應該可以避免這些侷限性——因為整數⑤跟零、負數一起形成一個群，而不是一個“群集”，——然而，具體運演階段第一水平的特點之一就是：即便是數的綜合也只能“一步一步地”發生。格雷科證明，自然數的構成只是依照我們可以稱之為一個逐步的算術化的過程而產生的，這種算術化的各階段的特點大致可用1—7、8—15、16—30等等數來描述。超出了這些極限——超出這些極限的進展是相當慢的——數就仍然只包含有歸類的方面或序列化的方面，只要這兩個特點的綜合還處於未完成狀態之下就一直會是如此（《研究報告》第十三卷）。

④由於A＋A′＝B，B＋B′＝C，C＋C′＝D，D＋D′＝E，E＋E′＝F，F＋F′＝G所以A＋F′＝A＋（G－F）＝A＋G－（E＋E′）＝A＋G－E′－（D＋D′）＝A＋G－E′－D′－（C＋C′）＝A＋G－E′－D′－C′－（B＋B′）＝A＋G－E′－D′－C′－B′－（A＋A′）＝G－E′－D′－C′－B′－A′

⑤這兒的意思應該是“正整數”才符合邏輯，後面的負數也是負整數的意思。

五、具體運演階段的第二水平

在這個子階段（將近九歲到十歲），除第一水平已經達到其平衡的那些不完全的形式之外，又達到了“具體”運演的一般平衡。但是進一步看，正是在這個階段，具體運演的性質本身所特有的缺陷開始在某些方面，尤其是在因果關係方面表現了出來；這些新的不平衡狀態在某種意義上說就肇始了一種完全的再平衡，這種再平衡是下一階段的特點，它的跡象甚至在這個水平上有時也能看到。

這個子階段的新異之處在邏輯下關係或者說空間關係的領域內表現得特別明顯。從七歲到八歲以後，在對自身是同一的客體——其對主體的地位已有所改變——的看法和觀點的變化方面形成了某些運演。但是僅在將近九歲到十歲時，人們才能談到對客體集合體（如座落在不同地方的三座大山或建築物）的觀點的協調。在這個水平上，一維、二維或三維空間的量度也導致自然座標的建構，把它們聯絡成為一個完整的系統。因此，兒童只是在將近九歲到十歲，才能預言在一個向一邊傾斜的容器內水的表面是水平的，或者預言靠近一個斜面的一根鉛線是垂直的。在所有這些情況下，所牽涉到的是除了只在第一個子階段存在的形象內的聯結之外，還有形象間的關係的建構；或者換一種說法，就是與簡單形象相對立的空間的加工建構。

談到邏輯運演，我們想提出如下一些觀察結果。七歲到八歲時，被試不但能建構加法結構，而且能建構乘法結構：如同時按兩個標準分類的二因素表（即矩陣）、系列的對應、或者說雙向的序列化（例如，按系列順序排列樹葉，豎行依照樹葉的大小排，橫行依照樹葉顏色的深淺排）。但是這些成就更多地是屬於成功地執行所提出來的任務的性質（例如，“把圖形按最好的可能方式排列起來”，而不給以要如何排列的暗示），而較少地屬於自發地應用結構。另一方面，九歲到十歲年齡的兒童在試著去分析出一個歸納性問題中的函式依存關係（例如：反射角和入射角之間的依存關係）時，顯示出有發現數量上的協變的一般能力，雖然還不能夠如同在下一階段那樣把其中所包含的因素分離出來，而是在系列化了的關係之間或類與類之間發現對應關係。然而，儘管在變數仍然沒有充分割槽分開來時，這種工作程式可能