第 210 章 三角換元法之探

又一日，學堂之內，戴浩文再開新篇。

戴浩文緩聲道：“今日為師要與爾等講授另一奇妙之法，名曰三角換元法。”

眾學子皆屏氣凝神，靜待下文。

李華拱手問道：“先生，此三角換元法又是何意？”

戴浩文微笑答道：“且看，若有方程 x2 + y2 = 1，吾等可設 x = cosθ，y = sinθ，此即為三角換元。”

張明面露疑惑：“先生，為何如此設之？”

戴浩文耐心解釋道：“諸君可知三角函式之特性？cos2θ + sin2θ = 1，恰與吾等所給方程相符。如此設之，可使求解之路徑明晰。”

王強問道：“那若方程為 x2 + 4y2 = 4，又當如何？”

戴浩文道：“此時，可設 x = 2cosθ，y = sinθ。如此，原方程便化為 4cos2θ + 4sin2θ = 4，正合題意。”

趙婷輕聲道：“先生，此設頗有巧妙之處。”

戴浩文點頭道：“然也。再看若有式子 √(1 - x2)，吾等設 x = sinθ，則此式可化為 √(1 - sin2θ) = cosθ 。”

李華思索片刻道：“先生，此換元法於解題有何妙處？”

戴浩文笑曰：“其妙處眾多。若求函式之最值，或化簡複雜之式，皆能大顯身手。譬如，求函式 x + √(1 - x2) 之值域。”

眾學子紛紛低頭思索。

戴浩文見狀，提示道：“已設 x = sinθ，代入可得 sinθ + cosθ 。諸君可還記得兩角和之公式？”

張明恍然道：“先生，吾記得，sinθ + cosθ = √2sin(θ + π\/4) 。”

戴浩文讚道：“善！由此可知其值域為 [-√2, √2] 。”

王強又問：“先生，若式中含分式，又當如何？”

戴浩文道：“莫急，若有式子 (1 - x2) \/ (1 + x2) ，設 x = tanθ ，則可化簡求解。”

趙婷道：“先生，此中計算恐有繁難之處。”

戴浩文道：“不錯，然只要步步為營，細心推之，必能解出。”

說罷，戴浩文在黑板上詳細演示計算過程。

......

如此講學許久，學子們對三角換元法初窺門徑。

戴浩文又道：“今留數題，爾等課後細細思索。若有不明，來日再論。”

學子們領命而去，皆欲深研此奇妙之法。

數日之後，眾學子再次齊聚學堂。

戴浩文掃視眾人，緩聲問道：“前幾日所授三角換元法，爾等可有研習？”

學子們紛紛點頭，李華率先說道：“先生，學生課後反覆思索，略有心得，然仍有諸多不明之處。”

戴浩文微笑道：“但說無妨。”

李華拱手道：“若方程為 9x2 + 16y2 = 144，該如何進行三角換元？”

戴浩文答道：“可設 x = 4cosθ，y = 3sinθ。如此一來，原方程化為 16cos2θ + 9sin2θ = 144，與原式契合。”

王強接著問道：“先生，那對於形如 √(x2 - 2x + 1) 這樣的式子，又當如何三角換元？”

戴浩文耐心解釋道：“先將其化為 √((x - 1)2) = |x - 1| ，再設 x - 1 = t ，若要三角換元，可令 t = sinθ 。”

趙婷疑惑道：“先生，為何有時設 x = cosθ ，有時又設 x = sinθ 呢？”

戴浩文道：“此需視具體問題而定。若方程或式子之形式與 cosθ 或 sinθ 之特性相關，便按需設之。”

張明道：“先生，三角換元法在求定積分時可有應用？”

戴浩文點頭道：“自然有。譬如求∫(0 到 1) √(1 - x2) dx ，設 x = sinθ ，則可將其化為三角函式之積分，求解更為簡便。”

說罷，戴浩文在黑板上詳細推演計算過程。

“諸位且看，如此換元之後，積分上下限亦需相應變換。”

學子們目