《第 224 章 開平方數的奇妙估算》

在經歷了泰勒展開式的深入學習後，戴浩文和學子們稍作休整，便迎來了新的知識篇章——開平方數的估算。

這一日，陽光透過學堂的窗戶，灑在學子們充滿期待的臉龐上。戴浩文站在講臺上，目光炯炯。

“諸位學子，今日我們將一同探索開平方數的估算之法。”戴浩文的聲音沉穩有力。

他轉身在黑板上寫下一個數字，“比如，要估算 √10 的值，我們該如何著手呢？”

學子們面面相覷，陷入沉思。

戴浩文微微一笑，說道：“首先，我們要找到兩個完全平方數，使得所求的開平方數介於它們之間。對於 √10 ，我們知道 3 的平方是 9 ，4 的平方是 16 ，所以 √10 就在 3 和 4 之間。”

“那如何進一步精確估算呢？”有學子問道。

戴浩文點了點頭，繼續說道：“我們可以採用逐步逼近的方法。假設我們先估計 √10 約為 3.1 ，那麼 3.1 的平方是 9.61 ，小於 10 ；再假設是 3.2 ，其平方為 10.24 ，大於 10 。所以 √10 就在 3.1 和 3.2 之間。”

學子們聽得入神，紛紛拿起筆在紙上計算起來。

戴浩文接著舉例：“再看 √20 ，4 的平方是 16 ，5 的平方是 25 ，所以 √20 在 4 和 5 之間。我們先假設是 4.4 ，平方後是 19.36 ，小於 20 ；假設是 4.5 ，平方後是 20.25 ，大於 20 ，所以 √20 就在 4.4 和 4.5 之間。”

王強抬起頭，疑惑地問：“先生，這樣逐步估算，是不是很麻煩？有沒有更簡便的方法？”

戴浩文笑了笑，說道：“莫急，且聽我慢慢道來。有一種方法叫二分法。還是以 √10 為例，我們先取 3 和 4 的中間值 3.5 ，其平方為 12.25 ，大於 10 ，所以 √10 在 3 和 3.5 之間。再取 3 和 3.5 的中間值 3.25 ，平方後為 10.5625 ，大於 10 ，所以 √10 在 3 和 3.25 之間。這樣不斷縮小範圍，就能越來越精確地估算出開平方數的值。”

為了讓學子們更好地理解，戴浩文又出了幾道題目讓大家現場練習。

“估算 √15 ，√25 ，√30 。”

學子們埋頭計算，戴浩文在教室裡踱步，觀察著大家的計算過程，不時給予指導。

“李華，計算平方的時候要仔細。”

“張明，注意判斷範圍。”

過了一會兒，戴浩文讓大家停下，開始講解練習題。

“對於 √15 ，我們知道 3 的平方是 9 ，4 的平方是 16 ，所以 √15 在 3 和 4 之間。先假設是 3.5 ，平方後是 12.25 ，小於 15 ，所以 √15 在 3.5 和 4 之間。再取中間值 3.75 ，平方後是 14.0625 ，小於 15 ，所以 √15 在 3.75 和 4 之間。”

戴浩文講解完練習題，又問道：“那如果數字較大，比如 √120 ，該怎麼估算呢？”

學子們思考片刻，趙婷說道：“先生，是不是還是先找兩個相鄰的完全平方數？”

戴浩文讚許地點點頭：“趙婷說得對。10 的平方是 100 ，11 的平方是 121 ，所以 √120 在 10 和 11 之間。然後再用剛才的方法逐步逼近。”

戴浩文接著說：“開平方數的估算在生活中也有很多用處。比如要建造一個正方形的場地，已知面積，我們就可以透過估算邊長來規劃材料。”

他在黑板上畫出一個正方形，“假設場地面積是 80 平方米，那麼邊長就是 √80 。我們先估算 √80 在 8 和 9 之間，然後逐步精確。”

學子們紛紛點頭，明白了估算的實際意義。

戴浩文又強調：“在估算的過程中，大家要多練習，提高計算的速度和準確性。同時，也要注意誤差的控制，儘量使估算值接近真實值。”

接下來，戴浩文又給學子們介紹了一些特殊的估算技巧。

“如果數字接近某個完全平方數，比如 √85 ，它接近 9 的平方 81 ，我們可以先以 9 為