《246函式之妙——lnx\/x（續）》

夫函式 lnx\/x，其魅力無窮，如璀璨之星，照亮數學之蒼穹。前文已詳述其特性、應用及意義，今當更進一步，深入探索其更為深邃之奧秘。

且說有一智者，名曰文，常遊於學林之間，與諸學子共探數學之妙。文善啟學子之智，引其深入思考，學子們亦對文敬重有加，常圍而請教。

一、函式的高階導數

1. 一階導數的再審視

回顧 f(x)=lnx\/x 的一階導數 f'(x)=(1-lnx)\/x2，其在確定函式單調性方面發揮了關鍵作用。當 0＜x＜e 時，f'(x)＞0，函式單調遞增；當 x＞e 時，f'(x)＜0，函式單調遞減。此乃函式變化之根本規律，然僅止於此，尚不足以盡顯其精妙。

學子甲曰：“先生，此一階導數之變化，吾輩已明瞭，然其深意何在？”文笑而答曰：“此一階導數，乃函式變化之關鍵。如行軍之帥，引領函式之增減。當 f'(x)＞0 時，函式如勇進之師，氣勢如虹；當 f'(x)＜0 時，函式似退避之卒，漸趨平緩。汝等當細思其變，方能悟函式之真諦。”

2. 二階導數的推導與分析

求 f(x)的二階導數 f''(x)。對 f'(x)=(1-lnx)\/x2求導，根據求導法則可得：

f''(x)=[(1-lnx)'x2-(1-lnx)(x2)']\/x?

=(1\/x*x2-(1-lnx)*2x)\/x?

=(x-(1-lnx)*2x)\/x?

=(x-2x+2xlnx)\/x?

=(2xlnx - x)\/x?

=(2lnx - 1)\/x3。

分析二階導數的意義：二階導數反映了函式的凹凸性。當 f''(x)＞0 時，函式影象為凹；當 f''(x)＜0 時，函式影象為凸。

令 f''(x)=(2lnx - 1)\/x3＞0，即 2lnx - 1＞0，2lnx＞1，lnx＞1\/2，解得 x＞√e。

故當 x＞√e 時，函式 f(x)=lnx\/x 為凹函式；當 0＜x＜√e 時，函式為凸函式。

學子乙疑惑道：“先生，此凹凸之性，於實際有何用焉？”文曰：“此凹凸之性，用處甚廣。如在工程設計中，可依此判斷結構之穩定性；在經濟領域，可藉此分析市場之走勢。汝等當結合實際，深思其用。”

3. 高階導數的探索

繼續求函式的三階導數、四階導數……雖計算過程愈發複雜，但每一次求導都能為我們揭示函式更多的性質。高階導數在泰勒級數展開、近似計算等方面有著重要的應用。

學子丙感慨道：“先生，此高階導數之求，實乃不易。然其價值何在？”文曰：“高階導數如層層迷霧中之明燈，引領吾輩深入函式之奧秘。在近似計算中，可提高精度；在理論研究中，可拓展視野。汝等當不畏艱難，勇於探索。”

二、函式的積分

1. 不定積分

求函式 f(x)=lnx\/x 的不定積分。設 ∫(lnx\/x)dx，可令 u = lnx，則 du = 1\/x dx。

此時 ∫(lnx\/x)dx = ∫udu = u2\/2 + c = (lnx)2\/2 + c。

不定積分的意義在於，它為我們提供了一種反求導的工具。透過不定積分，我們可以找到函式的原函式族，從而更好地理解函式的性質和變化規律。

學子丁問道：“先生，此不定積分之原函式族，如何應用於實際問題？”文曰：“在物理問題中，可透過不定積分求位移、速度等；在經濟領域，可用於計算總成本、總收入等。汝等當靈活運用，方顯其價值。”

2. 定積分

考慮定積分 ∫a,bdx，其中 a、b 為給定區間的端點。定積分在計算曲線下面積、求解物理問題等方面有著廣泛的應用。

例如，當 a = 1，b = e 時，∫1,edx。可透過換元法或分部積分法進行求解。

學子戊曰：“先生，此定積分之求解，可有妙法？”文曰：“定積分之求解，需細心觀察，巧妙運用方法。換元法、分部積分法皆為常用之策。汝等當多做練習，熟能