生巧。”

三、函式與數列的聯絡

1. 數列極限與函式極限的關係

設 an = lnn\/n，考察數列{an}的極限。由函式 f(x)=lnx\/x 的性質可知，當 x 趨近於正無窮時，lnx\/x 趨近於零。而數列{an}可以看作是函式 f(x)在正整數點上的取值。

根據函式極限與數列極限的關係，若函式 f(x)在某一點的極限存在，那麼該函式在該點附近的數列極限也存在且相等。

所以 lim(n→∞)lnn\/n = 0。

學子己疑問道：“先生，此數列極限與函式極限之關係，何以如此？”文曰：“此乃數學之妙處。數列可視為函式之特殊情況，二者相互聯絡，共同揭示數學之規律。汝等當深入思考，方能領悟。”

2. 利用函式性質研究數列

透過分析函式 f(x)=lnx\/x 的單調性、極值等性質，可以推斷數列{an}的單調性、有界性等。

例如，由函式的單調性可知，當 n＞e 時，f(x)單調遞減，從而 an = lnn\/n 也單調遞減。

學子庚曰：“先生，此推斷之法，甚為巧妙。然如何確保其準確性？”文曰：“需嚴格推理，結合函式與數列之性質。多做例項分析，以驗證其正確性。汝等當嚴謹治學，不可馬虎。”

四、函式在實際問題中的拓展應用

1. 生物學中的應用

在生物學中，某些生物種群的增長模型可能與函式 lnx\/x 相關。例如，考慮一個種群的增長率與種群數量之間的關係。假設種群數量為 x，增長率為 r(x)=lnx\/x，其中 r(x)表示單位時間內種群數量的增長比例。

透過分析函式 r(x)的性質，可以瞭解種群增長的規律。當種群數量較少時，增長率可能較高；隨著種群數量的增加，增長率逐漸下降。這與實際生物種群的增長情況相符合。

學子辛曰：“先生，此生物學之應用，實乃新奇。然如何將函式更好地應用於生物學研究？”文曰：“需深入瞭解生物學現象，結合函式之性質，建立合理之模型。如此，方能為生物學研究提供有力之工具。”

2. 環境科學中的應用

在環境科學中，函式 lnx\/x 可以用於研究汙染物的擴散模型。假設汙染物的濃度分佈函式為 c(x)=A*lnx\/x，其中 A 為常數，x 表示距離汙染源的距離。

透過分析函式 c(x)的性質，可以瞭解汙染物在不同距離處的濃度變化情況。當距離汙染源較近時，汙染物濃度可能較高；隨著距離的增加，濃度逐漸下降。

學子壬曰：“先生，此環境科學之應用，意義重大。然如何提高模型之準確性？”文曰：“需考慮多種因素，如風向、地形等。不斷完善模型，使其更符合實際情況。汝等當有創新思維，勇於探索。”

3. 金融領域中的應用

在金融領域，函式 lnx\/x 可以用於投資組合最佳化問題。假設投資者有多種資產可供選擇，每種資產的收益率為 r_i，風險為 σ_i。投資者的目標是在一定的風險約束下，最大化投資組合的收益率。

可以構建目標函式 f(x)=ln(x1r1 + x2r2 +... + xnrn)\/x1σ1 + x2σ2 +... + xnσn，其中 x1,x2,...,xn 為投資在每種資產上的比例。

透過分析函式 f(x)的性質，可以找到最優的投資組合比例，實現風險與收益的平衡。

學子癸曰：“先生，此金融領域之應用，複雜難解。如何入手分析？”文曰：“需先理解金融概念，再結合函式之性質。逐步分析，不可急躁。汝等當有耐心，深入研究。”

五、函式的拓展與變形

1. 考慮函式 ln(kx)\/x（k 為常數）

當函式變為 f(x)=ln(kx)\/x 時，其性質會發生一定的變化。

首先，定義域仍為 x＞0。

求導數 f'(x)=[1-ln(kx)]\/x2。

分析單調性：令 f'(x)＞0，即 1-ln(kx)＞0，ln(kx)＜1，kx＜e，解得 x＜e\/k。

當 0＜x＜e\/k 時，函式單調遞增；當 x＞e\/k