第 223 章 神奇的泰勒展開式

時光荏苒，在戴浩文的悉心教導下，學子們在數學的海洋中不斷前行，收穫了越來越多的知識。

這一日，戴浩文再次踏入學堂，他的目光中帶著新的期待與熱情。

“諸位學子，今日吾將為爾等傳授一項更為高深且奇妙的數學知識——泰勒展開式。”戴浩文的聲音在學堂中響起，引得學子們紛紛正襟危坐，全神貫注。

戴浩文在黑板上寫下一個複雜的函式，緩緩說道：“在我們平日所接觸的數學中，常有一些函式難以直接計算或理解其性質。然而，泰勒展開式卻能為我們提供一種巧妙的方法，將這些複雜的函式化為一系列簡單的多項式之和。”

學子們面面相覷，臉上露出疑惑的神情。戴浩文微微一笑，繼續解釋道：“且看這一簡單之例，若有函式 f(x) = e^x ，其泰勒展開式便是 e^x = 1 + x + x^2\/2! + x^3\/3! + x^4\/4! +... 。”

“先生，這諸多的符號與算式，實是令人眼花繚亂，不知其所以然。”李華忍不住說道。

戴浩文點了點頭，說道：“莫急，李華。吾先為爾等解釋其中之關鍵。這‘!’乃是階乘之意，如 3! 便為 1x2x3 = 6 。而這泰勒展開式之精髓，在於以多項式之近似來表達複雜之函式。”

他拿起粉筆，邊寫邊道：“以 f(x) = sin(x) 為例，其泰勒展開式為 sin(x) = x - x^3\/3! + x^5\/5! - x^7\/7! +... 我們透過這一系列的多項式，便能在一定範圍內對正弦函式進行近似計算。”

王強皺著眉頭問道：“先生，那如何確定這近似的精度與範圍呢？”

戴浩文讚許地看了王強一眼，說道：“此問甚妙。這便取決於我們所取的多項式的項數。項數越多，近似的精度便越高，適用的範圍亦越廣。”

戴浩文又在黑板上畫出函式影象，說道：“諸位請看，當我們只取泰勒展開式的前幾項時，其與原函式的影象在區域性較為接近；而隨著項數的增加，兩者幾乎重合。”

學子們紛紛點頭，似有所悟。

戴浩文接著說道：“泰勒公式之應用，廣泛且重要。於天文曆法之推算、工程建築之設計，乃至音律之探究，皆有其用武之地。”

趙婷問道：“先生，如此精妙之公式，是如何得來的呢？”

戴浩文思索片刻，說道：“此乃眾多數學大家經過深思熟慮與反覆推導所得。其基於函式在某一點的導數資訊，逐步構建出這一近似表示式。”

為了讓學子們更好地理解，戴浩文又以具體的數值例子進行演示。

“假設我們要計算 e 的近似值，已知 e 約等於 2. 。若我們取 e^x 的泰勒展開式的前幾項，如 1 + x + x^2\/2 ，令 x = 1 ，則可得 1 + 1 + 1\/2 = 2.5 ，雖與真實值有差距，但已頗為接近。若再增加項數，精度將更高。”

學子們紛紛拿起筆，跟著戴浩文的例子進行計算，學堂中頓時響起一片沙沙聲。

戴浩文在學堂中踱步，觀察著學子們的計算過程，不時給予指點。

“張明，計算階乘時要仔細，莫出錯。”

“王強，注意小數點的位置。”

經過一番練習，學子們對泰勒展開式有了初步的認識。

戴浩文停下腳步，說道：“泰勒展開式雖看似複雜，但只要爾等用心領悟，多加練習，定能掌握其要領。”

他再次在黑板上寫下一個複雜的函式，說道：“今吾等以 f(x) = cos(x) 為例，一同來推導其泰勒展開式。”

戴浩文一步一步地引導學子們進行推導，從函式的導數計算，到各項係數的確定，每一個步驟都講解得清晰透徹。

“首先，計算 cos(x) 的一階導數為 -sin(x) ，二階導數為 -cos(x) ，三階導數為 sin(x) ，四階導數為 cos(x) ...... 由此可見，其導數具有周期性。”

學子們緊緊跟隨戴浩文的思路，眼睛緊盯著黑板，生怕錯過任何一個細節。

“然後，我們將函式在 x = 0 處進行展開。因為 cos(0) = 1 ， -sin(0) = 0 ， -cos(0) = -1