《第 244 章 對勾深研，智慧綻放》

時光悄然流逝，戴浩文與學子們沉浸在對勾函式的奇妙世界，已然忘卻了時間的流轉。自開啟對勾函式的探索之旅後，眾人對這神秘的數學之象愈發好奇，求知之火熊熊燃燒。

戴浩文見學子們如此熱忱，心中欣慰。一日，他踱步於學堂，目光如炬，緩緩開口：“吾輩既已初窺對勾函式之奧秘，今當更進一步，深究其中之玄妙。”學子們正襟危坐，眼神滿是期待。

“先看對勾函式的變形之法。對勾函式一般形式為 y = x + a\/x，其中 a 為常數且 a≠0。若將其變形，可得 y = (√x)2 + (√a\/√x)2 - 2√a + 2√a = (√x - √a\/√x)2 + 2√a。”

學子們凝視黑板上的公式，陷入沉思。戴浩文見狀，微笑道：“細思此變形有何妙處？”一學子起身拱手道：“先生，此變形可更直觀看出函式最值情況。”戴浩文微微點頭：“善哉！汝之悟性頗高。當√x = √a\/√x 時，即 x = √a，此時函式取得最小值 2√a。”

“再觀對勾函式之拓展。若將對勾函式變為 y = mx + n\/x，其中 m、n 為常數且 m、n≠0，此又當如何分析？”學子們低頭思索，片刻後，一學子道：“先生，此似可類比一般之對勾函式，其影象亦應為類似雙勾之形狀。”戴浩文讚道：“然也。此函式之性質與一般對勾函式有諸多相似之處，亦有其獨特之處。其定義域仍為 x≠0，奇偶性可透過計算 f(-x)來判斷。當 x＞0 時，其單調性亦需透過求導等方法來確定。”

戴浩文繼續道：“今再探對勾函式與其他函式之關係。若有函式 y = kx + b，其中 k、b 為常數，當此函式與對勾函式相交時，又當如何求解？”學子們面面相覷，感此問題棘手。戴浩文引導道：“可先聯立兩函式方程，再求解方程組。”學子們恍然大悟，紛紛動手嘗試。

一學子率先求解道：“設對勾函式 y = x + a\/x 與函式 y = kx + b 相交，則有 x + a\/x = kx + b，整理得 x2-(kx + b)x + a = 0。”戴浩文點頭道：“甚善。由此方程可求解出交點之橫座標，進而求出縱座標。此乃求解對勾函式與其他函式相交問題之關鍵。”

“對勾函式之應用，遠不止此前所講。有一商人慾運貨，已知貨物重量為 m，運費與路程成正比，比例係數為 k。又知運輸工具載重量為 n，若超重則需額外支付費用，費用與超重部分成正比，比例係數為 p。現求總運費最低時之運輸方案。”

學子們陷入沉思，良久，一學子道：“先生，可否以對勾函式之知識求解？”戴浩文微笑道：“汝可試言之。”學子道：“設運輸次數為 x，則每次運輸重量為 m\/x。當不超重時，運費為 k(m\/x)·s，其中 s 為路程。當超重時，超重部分為 m\/x - n，額外費用為 p(m\/x - n)。則總運費為 f(x)=k(m\/x)·s + p(m\/x - n)，化簡可得 f(x)=kms\/x + pm\/x - pn。此似可視為對勾函式之變形。”戴浩文大笑道：“妙極！汝等當細思此解法之思路。”

眾學子紛紛點頭，深入分析此問題。戴浩文又道：“對勾函式在幾何問題中亦有妙用。如，有一圓形池塘，半徑為 r。在池塘邊有一點 A，距池塘中心 d。現從點 A 引一直線與池塘相切，求切線長度與切點位置之關係。”

一學子思索片刻後道：“先生，可設切點為 b，連線圓心 o 與切點 b，則 ob⊥Ab。根據勾股定理，Ab = √(Ao2 - ob2)=√(d2 - r2)。此與對勾函式有何關係？”戴浩文道：“汝等可再思之。若將此問題拓展，設點 A 到池塘邊任意一點 c 的距離為 x，點 c 到圓心的距離為 y，則 Ac = √((x - d)2 + y2)。此式可透過變形與對勾函式產生聯絡。”

學子們恍然大悟，開始嘗試各種變形方法。戴浩文看著學子們積極探索的模樣，心中歡喜。

“對勾函式之奧秘，猶如星辰大海，吾等雖已探索頗多，然仍有無數未知等待吾輩去發現。今可進行一些實踐活動，以加深對其理解。”

戴浩文帶領學子們來到戶外。“今有一繩索，長為 l。欲將其