第 226 章 拉格朗日乘數法

新的一天，陽光透過學堂的窗戶，柔和而溫暖地灑在學子們的課桌上，形成一片片斑駁的光影。戴浩文先生精神抖擻地站在講臺前，目光中充滿了期待，準備帶領大家開啟新的數學知識篇章——拉格朗日乘數法。

“同學們，在我們不斷探索數學的廣袤世界時，今天我們即將涉足一個充滿魅力且實用的領域——拉格朗日乘數法。”戴浩文先生的聲音沉穩而有力，清晰地傳遍了整個學堂。

他轉身，拿起粉筆，在黑板上寫下一個簡單的最佳化問題：“求函式 f(x, y) = x^2 + y^2 在約束條件 g(x, y) = x + y - 1 = 0 下的最小值。”

學子們的目光緊緊盯著黑板上的題目，眼神中透露出好奇和思索。他們的大腦開始飛速運轉，試圖在已有的知識體系中找到與之相關的線索。

戴浩文先生放下粉筆，雙手撐在講臺上，開始詳細講解：“首先，我們引入拉格朗日乘數λ，構建拉格朗日函式 L(x, y, λ) = x^2 + y^2 + λ(x + y - 1) 。同學們，可能你們會好奇，為什麼要這樣構建呢？”

一位坐在前排的同學迫不及待地舉起手提問：“先生，為什麼要這樣構建呢？”

戴浩文先生微笑著回答：“這是個很好的問題。我們這樣構建的目的，是將有約束條件的最佳化問題轉化為無約束條件的問題。透過引入這個拉格朗日乘數λ，我們能夠把約束條件融合到新構建的函式中，從而使問題的解決有了新的途徑。”

接著，他回過身，用粉筆指著黑板繼續說道：“接下來，我們分別對 x、y 和λ求偏導數，並令其等於零。”

戴浩文先生在黑板上寫下詳細的偏導數式子：

?L\/?x = 2x + λ = 0 1

?L\/?y = 2y + λ = 0 2

?L\/?λ = x + y - 1 = 0 3

“我們來看這三個式子，先從1和2入手，同學們，你們能發現什麼？”戴浩文先生用鼓勵的眼神看著大家。

一位聰明的學子站起來回答：“先生，從這兩個式子可以得出 2x = 2y，也就是說 x = y。”

戴浩文先生滿意地點點頭：“非常好！那既然 x = y，我們將其代入3中，就得到 2x - 1 = 0，那麼很容易就能解得 x = y = 1\/2 。”

“所以，在這個約束條件下，函式 f(x, y) 的最小值就是 1\/2 。大家明白了嗎？”戴浩文先生目光掃過每一位學子。

同學們紛紛點頭，但眼神中仍有一些疑惑。

戴浩文先生似乎看出了大家的心思，他說道：“不要著急，我們再來看一個更復雜的例子。”

他再次拿起粉筆，在黑板上寫下：“求函式 f(x, y) = xy 在約束條件 x^2 + y^2 = 1 下的最大值和最小值。”

這一次，同學們的眉頭皺得更緊了，顯然這個問題的難度增加了不少。

戴浩文先生耐心地引導大家：“同樣地，我們構建拉格朗日函式 L(x, y, λ) = xy + λ(x^2 + y^2 - 1) ，然後求偏導數。”

他在黑板上逐步寫出求偏導的過程：

?L\/?x = y + 2λx = 0 4

?L\/?y = x + 2λy = 0 5

?L\/?λ = x^2 + y^2 - 1 = 0 6

“同學們，我們來仔細分析這三個式子。由4和5，我們可以嘗試消除λ，看看能得到什麼新的關係。”

經過一番思考和討論，學子們在戴浩文先生的引導下，逐漸找到了思路。

“那我們得到了這些關係，再結合6式，就能夠求解出 x 和 y 的值。”戴浩文先生一邊說，一邊在黑板上進行計算。

經過一番複雜的運算，最終得出了這個問題的解。

此時，有些同學已經開始感到有些吃力，但戴浩文先生鼓勵道：“數學的學習就像攀登山峰，過程可能會有些艱難，但當我們到達山頂，看到那美麗的風景時，一切努力都是值得的。”

為了讓大家更好地理解和掌握拉格朗日乘數法，戴浩文先生又列舉了幾個不同型別的例子。