第 135 章 拓展數學天地

經過等腰三角形的深入學習與考核，學子們在數學的求知之路上又邁進了堅實的一步。戴浩文望著一張張充滿期待的面龐，心中已有了新的教學規劃。

新的一課，戴浩文手持書卷，神色從容地走上講臺，清了清嗓子說道：“諸位學子，前番我們在等腰三角形的知識海洋中探尋奧秘，收穫頗豐。今次，我們將拓展新的數學領域，之前我們已經學過了直角三角形的知識勾股定理，這次我們一同更深層次地領略直角三角形的奇妙。”

學子們目光炯炯，全神貫注地傾聽著戴浩文的話語。

戴浩文轉身在黑板上畫出一個直角三角形，“此為直角三角形，其有一內角為直角。直角三角形中，蘊含著諸多重要的定理與關係。”

他首先講解了直角三角形的勾股定理，“兩直角邊的平方和等於斜邊的平方，此乃勾股定理。若直角邊分別為 a、b，斜邊為 c，則有 a2 + b2 = c2 。”

為了讓學子們更好地理解，戴浩文給出了幾個具體的數值，讓學子們計算驗證。

一位學子迅速起身回答：“先生，若 a = 3，b = 4，則斜邊 c 應為 5，因為 32 + 42 = 52 。”

戴浩文點頭表示肯定，接著又道：“那若已知斜邊 c = 13，一條直角邊 a = 5，求另一條直角邊 b 呢？”

學子們紛紛動筆計算，不一會兒，另一位學子回答道：“先生，b 應為 12，因為 132 - 52 = 122 。”

戴浩文微笑著繼續說道：“勾股定理不僅用於計算邊長，在實際生活中亦有諸多應用。比如測量大樹的高度、計算兩地之間的距離等。”

隨後，他又講到了直角三角形中的特殊角度，如 30°、60°和 45°所對應的邊長比例關係。

“當直角三角形中一個銳角為 30°時，其對邊等於斜邊的一半。若斜邊為 2a，那 30°角所對的直角邊則為 a ，另一條直角邊為 √3a 。”戴浩文一邊講解，一邊在黑板上畫圖示意。

“而當一個銳角為 45°時，此直角三角形為等腰直角三角形，兩直角邊相等，若直角邊為 a ，斜邊則為 √2a 。”

學子們紛紛記下這些重要的比例關係，並透過練習題加以鞏固。

這時，一位學子提出疑問：“先生，如何證明這些特殊角度的邊長比例關係呢？”

戴浩文不慌不忙地解釋道：“我們可以透過構造全等三角形或者運用三角函式的知識來證明。”

他詳細地在黑板上進行了推導證明，學子們恍然大悟。

接下來，戴浩文又引入了直角三角形的射影定理，“在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。”

面對這一較為複雜的定理，學子們面露難色。戴浩文耐心地透過圖形和例項進行解釋，幫助學子們理解。

“我們來看這道題，已知直角三角形的兩條直角邊分別為 6 和 8，斜邊的高為 h ，求 h 的值。”

學子們開始思考，紛紛在紙上畫圖計算。

過了一會兒，一位學子站起來回答：“先生，先根據勾股定理求出斜邊為 10，再根據面積相等，可得 6x8 = 10xh ，解得 h = 4.8 。”

戴浩文讚許地說道：“不錯，思路清晰。”

戴浩文繼續深入講解：“直角三角形還有許多有趣的性質和應用。比如，在建築工程中，確定屋架的傾斜角度、計算橋樑的支撐結構等都離不開直角三角形的知識。”

他又給出了一道實際應用題：“一座塔直立在地面上，塔高 30 丈，在塔的附近有一建築物，從塔頂測得建築物頂部的仰角為 30°，底部的俯角為 60°，求建築物的高度。”

學子們分組討論，熱烈地交流著各自的想法。

其中一組的代表站起來說道：“先生，我們先根據三角函式求出塔與建築物的水平距離，再根據仰角和俯角求出建築物的高度。”

戴浩文聽後，給予了肯定和指導。

隨著課程的推進，戴浩文越發注重培養學子們的思維能力和解決實際問題的能力。

他又提出了一個更具挑戰性的問題：“若一個直角三角形的周長為定值，何時其面積最大？