第 217 章 深入橢圓的世界

幾日之後，戴浩文先生再次踏入講堂。學生們早已整齊端坐，眼中滿是對知識的渴望。

戴浩文清了清嗓子，說道：“今日，吾等繼續探究橢圓之奧秘。上次所講，諸位對橢圓已有初步認知，今次著重講解橢圓之焦點與三角形性質。”

李華拱手問道：“先生，這橢圓的焦點究竟有何奇妙之處？”

戴浩文微微一笑，道：“李華，且聽吾道來。橢圓之焦點，乃橢圓性質之關鍵所在。設橢圓兩焦點分別為 F?、F?，橢圓上任意一點為 p，便可得三角形 pF?F?。此三角形之中，存有諸多有趣之性質。”

王強急切問道：“先生，願聞其詳。”

戴浩文踱步至黑板前，邊畫邊說：“其一，三角形 pF?F?之周長，恆為定值，其值為 2a + 2c，其中 a 為長半軸，c 為焦距之半。”

趙婷疑惑道：“先生，此定值如何得來？”

戴浩文耐心解釋：“趙婷，汝且思之。橢圓上一點 p 至兩焦點距離之和為 2a，而兩焦點間距離為 2c，故周長為 2a + 2c。”

張明思索片刻，道：“先生，那此三角形之面積可有定法計算？”

戴浩文點頭道：“張明此問甚妙。三角形 pF?F?之面積，可由公式 S = b2 x tan(θ\/2)計算，其中 θ 為角 F?pF?。”

李華撓頭道：“先生，這θ又如何得知？”

戴浩文笑曰：“李華莫急，θ雖難求，然若已知點 p 座標及橢圓方程，透過向量之法，可算得角 F?pF?之餘弦值，進而得θ。”

王強又道：“先生，若已知三角形面積，能否反推橢圓之某些引數？”

戴浩文讚許道：“王強能作此想，實乃善思。若已知面積，結合其他條件，或可推知橢圓之某些引數。”

此時，學生們皆陷入沉思，各自在腦中推演。

戴浩文見狀，說道：“吾再舉一例，助汝等理解。假設有一橢圓，焦點 F?(-2, 0)，F?(2, 0)，且三角形 pF?F?面積為 3，點 p 縱座標為 1，試求橢圓方程。”

學生們紛紛提筆計算。

過了片刻，趙婷道：“先生，學生算得 c = 2，由面積可得底邊 F?F?長度為 4，高為 1，故三角形面積為 2，與題中不符，是否有誤？”

戴浩文搖頭道：“趙婷，再思之。面積應為 1\/2 x 4 x 1 = 2 ，然題中面積為 3，可知另有玄機。”

李華恍然道：“先生，莫非與角 F?pF?有關？”

戴浩文笑道：“李華聰慧，正是如此。汝等當繼續深究。”

戴浩文又道：“再論橢圓焦點與準線之關係。橢圓之準線，與焦點緊密相連。準線方程為 x = ± a2\/c 。”

王強問道：“先生，此準線有何用途？”

戴浩文回道：“王強，準線之於橢圓，猶如規矩之於方圓。橢圓上一點至焦點與至準線之距離，有固定比例，此比例即為離心率 e 。”

張明道：“先生，如此複雜，實難一時領會。”

戴浩文鼓勵道：“張明，學問之道，貴乎持之以恆。多加思索，定能通透。”

戴浩文繼續講解：“且說這橢圓焦點與三角形性質，若三角形 pF?F?為等腰三角形，又當如何？”

學生們再度陷入沉思。

李華率先道：“先生，若 pF? = pF? ，是否可推出點 p 在橢圓短軸頂點？”

戴浩文點頭道：“李華所言不差。若 pF? = F?F? 或 pF? = F?F? ，又當如何？”

眾人皆苦思冥想。

趙婷道：“先生，學生以為可透過距離公式求解。”

戴浩文道：“趙婷思路正確，不妨一試。”

學生們紛紛動筆演算。

戴浩文看著學生們專注之態，心中甚喜。

一堂課畢，戴浩文道：“今日所講，望諸位課後細細琢磨。”

學生們行禮道：“多謝先生。”

課後，學生們三五成群，討論著課堂所學。

李華與張明道：“今日之課，實乃深奧，需多下功夫。”

張明應道：“誠然，然有先生教導，定能攻克。”