它們在功能方面是與那些從發展一開始就出現的特點相類似的，但它們對以後的結構化作用有著重要得多的意義。因為它們使已經存在的、現在頭一次得到穩定的運演結構臻於完善，在它們的“具體運演”的基地上建構起那些“對運演的運演”或第二級運演，這些運演是由命題運演或形式運演組成的，具有著它們的組合性特點、它們的四變數群、它們的比例關係和分佈關係、以及因果領域內由這些新特徵才使之成為可能的一切東西。

六、形式運演

隨著在將近十一歲到十二歲時開始形成的形式運演的出現，我們就達到了運演發展過程的第三個重要階段。在這個階段，運演從其對時間的依賴性中解脫了出來，也就是說從兒童活動的前後心理關係中解脫了出來——在這種前後關係中運演的蘊含特性或者說邏輯特性也具有因果性的方面。正是在這個階段，運演最後具有了超時間性，這種特性是純邏輯數學關係所特有的。第一階段是符號功能階段（將近一歲半到兩歲）：模仿內化為表象形式而兒童學會了說話，使得現在能把先後相繼的活動壓縮成為同時性表象的形式。第二重要階段是具體運演開始的階段。具體運演把預見和回顧協調了起來，因而產生了可逆性，它可以說能“把時鐘倒撥回來”並回復到時間上的起點。不過，我們在這方面雖可以談到兒童對時間觀念的日益增長的掌握，時間仍然跟活動和擺弄實物動作緊密地聯絡在一起，而活動和擺弄實物在時間上卻是先後相繼的。因為我們討論的仍然是“具體”運演，即同客體和實際物理變化有關的運演。另一方面，“形式”運演標誌出一個第三階段。在這裡認識超越於現實本身，把現實納入可能性和必然性的範圍之內；從而就無需具體事物作為中介了。以整數的無窮級數、連續統的冪、或由p、q這兩個命題及其反命題的組合而產生的十六種運演等作為例證的這個認知的可能性王國，與發生在時間上的物理位移相反，在本質上是超時間的。

形式運演的主要特徵是它們有能力處理假設而不只是單純地處理客體：這是研究這個問題的所有作者都注意到的兒童在十一歲左右出現的那個基本創新。但是這個特點還牽涉到另一個同等重要的特點。兒童提出的假設並不是客體，而是命題，假設的內容則是類、關係等等的能夠直接予以證實的命題內運演；從假設推匯出來的推論也是這樣。另一方面，我們利用它來從假設達到結論的那種演繹性運演則屬於一個十分不同的型別，這是命題間運演，是對運演進行的運演，也就是二級運演。在這裡我們看到了只是在當前這個水平上而不是在早於這個水平上所形成的這些運演的一個很普遍的特點，這些運演有例如應用蘊含等等的運演，應用命題邏輯的運演或在關係之間加工製造出的關係（比例關係、分佈關係等）的運演，以及協調兩個參照系統的運演等等。

就是這個對運演進行運演的能力使得認識超越了現實，並且藉助於一個組合系統而使認識可以達到一個範圍無限的可能性，而運演就不再像具體運演那樣限於一步一步地建構了。例如，n乘n的組合為一切可能的分類形成了一個分類；排列性運演則為一切可能的系列化形成了一個系列化，如此等等。形式運演的一個重要的新特點在於形式運演是以一個組合系統為基礎透過加工製造出“所有子集合的集合”，或者說單純形，而使最初的系統變得豐富起來的。特別是，我們知道命題運演是具有這種結構的，正如一般類的邏輯一旦擺脫了最初“群集”的特定限制就能具有這種結構一樣。同時格的建構也能夠出現了。因此在迄今已描述的種種新特點之間是存在著重要的統一性的。

但是，我們需要指出另一種基本結構。我們對心理學事實的分析使我們大約在一九四八年到一九四九年就能夠把這種結構分析出來，時間比邏輯學者對它感到興趣時還早。這就是把命題組合（或一般地說“所有子集合的集合”）之內的反運演和互反性運演聯合成為一個單一的“四變數群”（即克萊因群）。具體運演有兩種形式的可逆性：反運演或者說否定性運演，它會把一個項消去，例如＋A－A＝0；以及互反性運演（A＝B，和B＝A，等等），它會產生等值，因而把差別性消去了。但是，如果反運演是類的群集的特徵而互反性運演是關係的群集的特徵，那麼，在具體運演水平上就還不存在一個把這兩種運演聯結成為一個單一整體的完整系統。另一方面，在命題組合系統的水平上，每個運演如pq含蘊著一個反命題N，即p·q，同時也蘊含著一個互反性命題R，即pq＝qp，而且也蘊含著一個關聯性命題C，即p·q，