第 167 章 方程根的個數之探秘

數日匆匆而過，學府內的書香依舊瀰漫。戴浩文再次踏上那熟悉的講臺，新的知識篇章即將在學子們的期待中緩緩展開。

“諸位學子，前番我們在數列的世界中探尋智慧，今時今日，吾將引領爾等步入方程根的個數這一神秘領域。”戴浩文聲音朗朗，目光掃過一眾學子。

眾學子正襟危坐，眼神中滿是對新知識的渴求和好奇。

戴浩文輕揮衣袖，於黑板之上寫下一道方程：“x2 - 5x + 6 = 0。”

“吾等先觀此簡單之例，求解方程之根，諸位當如何為之？”戴浩文問道。

有學子起身答道：“先生，可用因式分解之法，化為 (x - 2)(x - 3) = 0，得根為 2 與 3。”

戴浩文微微頷首：“善。然今所論者，非僅求其根，而在探究此類方程根之個數。”

他繼而說道：“若方程為二次方程 ax2 + bx + c = 0，其判別式 Δ = b2 - 4ac 便為關鍵。當 Δ ＞ 0 時，方程有兩個不同之實根；當 Δ = 0 時，方程有兩個相同之實根；當 Δ ＜ 0 時，方程無實根。”

眾學子聽聞，紛紛低頭記錄。

戴浩文又舉例道：“如方程 x2 + 2x + 1 = 0，其中 a = 1，b = 2，c = 1，Δ = 22 - 4x1x1 = 0，故而此方程有兩個相同實根，即為 -1。”

為使學子們更明其理，戴浩文令學子們各自出題，相互求解判別式並判斷根的個數。一時間，課堂內討論之聲四起，學子們或蹙眉思索，或欣然交流。

待眾人稍有領悟，戴浩文話鋒一轉：“二次方程之理，諸位已略知一二。然方程之形多樣，諸如三次方程、四次方程，乃至更高次方程，又當如何探究其根之個數？”

眾學子面面相覷，皆感困惑。

戴浩文微笑道：“莫急。吾先以三次方程為例。”他在黑板上寫下方程：“x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0。”

“求解此類方程，需綜合運用因式分解、試根等法。吾先試 x = 1，代入方程，發現等式成立，故 x - 1 為其一個因式。”戴浩文邊說邊演示。

經過一番推演，方程化為 (x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0，“由此可知，此方程有三個實根，分別為 1，2，3。”

“至於更高次方程，其解法更為複雜，常需藉助函式之影象，以觀其走勢，判斷根之個數。”戴浩文繼續講解。

他畫出函式 y = x3 - 6x2 + 11x - 6 的影象，“觀此影象與 x 軸之交點，便知方程根之個數。”

學子們盯著影象，似有所悟。

戴浩文又道：“亦有一類方程，難以直接求解，如超越方程。例如，e^x - 2x - 1 = 0。”

他解釋道：“此類方程，吾等可透過函式單調性、極值等性質來推斷根之個數。先求其導數，判斷函式增減區間，再觀其極值。”

戴浩文詳細地推導著，學子們跟隨著他的思路，努力理解著其中的奧妙。

時光悄然流逝，已至正午，陽光透過窗欞灑入教室，但學子們渾然未覺，沉浸於知識的海洋。

“今日所學，頗為深奧，諸位需在課後多加琢磨。”戴浩文說道。

下午課程伊始，戴浩文繼續深入探討方程根的個數問題。

他在黑板上寫下一道含引數的方程：“x2 + mx + 1 = 0。”

“若此方程有實數根，求引數 m 之取值範圍。”戴浩文丟擲問題。

學子們紛紛動筆演算。戴浩文則在臺下巡視，觀察學子們的解題思路。

少頃，戴浩文走上講臺，開始講解：“由判別式 Δ = m2 - 4，若方程有實根，則 Δ ≥ 0，即 m2 - 4 ≥ 0，解得 m ≥ 2 或 m ≤ -2。”

接著，他又給出幾道類似的含引數方程，讓學子們鞏固所學。

“再看這道方程，”戴浩文又寫下：“x3 - 3x + k = 0，已知其有且僅有一個實根，求 k 的取值範圍。”

學子們再次陷入沉思。戴浩文提示道：“可先求導，分析函式單調性。”

經過一番思考和討