第 133 章 深探等差數列

在經歷了梯形中位線和其他數學知識的傳授與交流後，戴浩文決定在接下來的講學中，引領學子們深入探索等差數列這個充滿奧秘的數學領域。

這一日，陽光透過窗欞灑在學堂的地面上，戴浩文神色莊重地站在講臺上，看著臺下一雙雙充滿求知慾的眼睛，緩緩開口道：“諸位學子，今日我們將進一步深入探究等差數列之妙處。”

學子們紛紛挺直了腰桿，全神貫注地準備聆聽戴浩文的講解。

戴浩文在黑板上寫下了一個等差數列的例子：“2，5，8，11，14……”，然後問道：“誰能說一說這個數列的公差是多少？”

一位學子立刻舉手回答道：“先生，公差為 3。”

戴浩文點了點頭，接著問道：“那它的通項公式又該如何表示呢？”

課堂上陷入了短暫的沉默，隨後一位聰明的學子站起來說道：“先生，通項公式應為 an = a1 + (n - 1)d ，在此例中，a1 = 2，d = 3，所以通項公式為 an = 2 + 3(n - 1) 。”

戴浩文微笑著表示肯定：“不錯。那我們來思考一下，如果已知等差數列的第 m 項和公差，如何求出首項呢？”

學子們紛紛拿起筆，在紙上開始計算和推導。

過了一會兒，一位學子說道：“先生，我覺得可以透過 am = a1 + (m - 1)d 這個式子變形求出首項 a1 。”

戴浩文鼓勵道：“很好，那你具體說一說。”

學子接著道：“將式子變形為 a1 = am - (m - 1)d ，這樣就可以透過第 m 項和公差求出首項了。”

戴浩文滿意地說道：“非常正確。那我們再深入一些，若已知等差數列的前 n 項和 Sn ，以及項數 n 和公差 d ，如何求首項 a1 呢？”

這個問題顯然更具難度，學子們陷入了深深的思考之中。

這時，一位平時就善於思考的學子站起來說道：“先生，我覺得可以先根據等差數列的前 n 項和公式 Sn = n(a1 + an) \/ 2 ，將 an 用通項公式表示出來，然後代入求解。”

戴浩文眼中露出讚賞之色：“思路很好，那你來給大家詳細推導一下。”

學子走到黑板前，開始認真地推導起來：“因為 an = a1 + (n - 1)d ，所以 Sn = n(a1 + a1 + (n - 1)d) \/ 2 ，化簡後得到 Sn = n[2a1 + (n - 1)d] \/ 2 ，進一步變形可得 2Sn = n(2a1 + (n - 1)d) ， 2Sn = 2na1 + n(n - 1)d ， 2a1 = (2Sn - n(n - 1)d) \/ n ，最終得出 a1 = (2Sn - n(n - 1)d) \/ 2n 。”

戴浩文帶頭鼓掌：“推導得非常精彩！那我們再來看一個實際應用的例子。假設一個等差數列的前 10 項和為 150 ，公差為 2 ，求首項。誰能來解一下？”

學子們紛紛埋頭計算，不一會兒，一位學子舉手說道：“先生，我算出來了。根據剛才推導的公式，a1 = (2x150 - 10x9x2) \/ 20 = 6 。”

戴浩文點了點頭：“正確。那我們再思考一下，如果已知等差數列的前三項和為 12 ，且前三項的平方和為 40 ，如何求這個數列的通項公式呢？”

這個問題讓學子們感到有些棘手，但他們並沒有退縮，而是相互討論，嘗試著尋找解題的方法。

過了許久，一位學子說道：“先生，我設這三項分別為 a - d ，a ，a + d ，然後根據已知條件列出方程組，可以求出 a 和 d ，進而得到通項公式。”

戴浩文說道：“那你來具體解一下這個方程組。”

學子在黑板上寫道：“(a - d) + a + (a + d) = 12 ， (a - d)2 + a2 + (a + d)2 = 40 。 解第一個方程得 3a = 12 ，a = 4 。將 a = 4 代入第二個方程得 (4 - d)2 + 16 + (4 + d)2 = 40 ，化簡得到 16 - 8d + d2 + 16 + 16 + 8d