《第 231 章 不動點法：探尋數列的奧秘》

在同學們對循序漸進的智慧有了深刻理解之後，戴浩文先生決定給大家帶來新的知識——不動點法求數列通項公式。

上課鈴聲響起，同學們都滿懷期待地看著戴浩文先生。

戴浩文先生微笑著走上講臺，說道：“同學們，今天我們要一起探索一個神奇的數學方法——不動點法，來求解數列的通項公式。”

聽到這個新的名詞，同學們眼中充滿了好奇。

戴浩文先生在黑板上寫下了一個數列的遞推公式： ，然後問道：“大家看看，對於這樣的數列遞推公式，我們怎麼去找到它的通項公式呢？”

同學們紛紛皺起眉頭，開始思考。

一位同學舉手說道：“先生，感覺這個好複雜，不知道從哪裡入手。”

戴浩文先生笑著說：“彆著急，這就是我們今天要學習的不動點法的用武之地啦。首先，我們來理解一下什麼是不動點。假設函式 ，如果存在一個實數 ，使得 ，那麼 就是函式 的不動點。”

同學們似懂非懂地點點頭。

戴浩文先生繼續說道：“對於我們這個數列遞推公式，我們把它看成一個函式 ，然後求解方程 。”

說著，戴浩文先生在黑板上開始解方程：

解完方程，戴浩文先生說道：“所以， 就是這個函式的不動點。”

又有同學問道：“先生，求出不動點之後呢？”

戴浩文先生說：“接下來就神奇啦。我們令 。”

同學們開始動筆跟著算。

戴浩文先生接著說：“然後我們把 代入 的表示式中，經過一番化簡，會得到一個很有趣的結果，大家試試看。”

同學們紛紛埋頭計算，不一會兒，一位同學興奮地說：“先生，我算出來了，得到了一個關於 的簡單遞推式！”

戴浩文先生讚許地點點頭，說道：“非常好！透過這個簡單的遞推式，我們是不是就可以更容易地求出 的通項公式啦？”

同學們恍然大悟，紛紛點頭。

戴浩文先生又問道：“那求出 的通項公式之後，怎麼得到 的通項公式呢？”

同學們又陷入了思考，開始互相討論。

過了一會兒，一位同學站起來說：“先生，是不是可以把 的通項公式反解出 ？”

戴浩文先生笑著說：“沒錯！你很棒！”

然後戴浩文先生在黑板上完整地演示了一遍求解過程。

講完之後，戴浩文先生說：“大家都明白了嗎？我們來做一道練習題試試。”

戴浩文先生在黑板上寫下了另一個數列遞推公式：

同學們馬上開始動手計算。

戴浩文先生在教室裡走動，觀察同學們的計算過程，不時給予指導和提示。

一位同學算完後，不太確定地說：“先生，我算出來的不動點是 1，對嗎？”

戴浩文先生看了看他的計算過程，說道：“非常正確，那接著往下算吧。”

同學們陸續算出了結果，戴浩文先生讓一位同學上臺展示他的解法。

同學講完後，戴浩文先生說：“大家做得都很不錯。那我們再深入思考一下，如果不動點不止一個，又該怎麼辦呢？”

同學們又開始熱烈地討論起來。

討論結束後，戴浩文先生總結道：“如果不動點不止一個，我們可以分別構造不同的式子，然後再進行求解。”

接著，戴浩文先生又給出了幾個更復雜的數列遞推公式，讓同學們分組討論，用不動點法求解。

教室裡頓時熱鬧起來，同學們各抒己見，思維的火花不斷碰撞。

戴浩文先生在各個小組之間傾聽同學們的討論，不時給予肯定和鼓勵。

一段時間後，每個小組都派代表上臺分享他們的討論結果和解題思路。

戴浩文先生認真地聽完每個小組的彙報，然後進行點評和補充。

課程接近尾聲，戴浩文先生問道：“透過今天這堂課，大家對不動點法求數列通項公式掌握得怎麼樣？”

同學們紛紛表示有了很大的收穫。

戴浩文先生笑著說：“那好，課後大家要多做幾道練習題鞏固一下，相信大家會越來越熟練的。”

下課鈴聲響起，同學們帶著對不動點法的新認識，結束了這堂充滿挑戰和樂趣的數學課。