《247函式之妙——lnx\/x（再續）》

一、函式的漸近線分析

1. 水平漸近線

- 當 x 趨近於正無窮時，分析函式 f(x)=lnx\/x 的極限情況。

- 由洛必達法則可得，lim(x→+∞)(lnx\/x)=lim(x→+∞)(1\/x)\/1 = 0。

- 這表明函式 f(x)有水平漸近線 y = 0，即當 x 趨向於無窮大時，函式值無限趨近於零。

- 學子甲問道：“先生，此水平漸近線之意義何在？”文曰：“水平漸近線可幫助我們理解函式在無窮遠處的行為。它為我們提供了一種對函式趨勢的直觀認識，在實際問題中，比如在研究某些增長模型時，可判斷其增長是否有極限。”

2. 垂直漸近線

- 考慮函式的定義域為 x＞0，不存在使函式無定義的點，故函式 f(x)=lnx\/x 沒有垂直漸近線。

- 學子乙疑惑道：“先生，若函式無垂直漸近線，是否意味著其在定義域內的變化較為平緩？”文曰：“雖無垂直漸近線，但不代表變化平緩。此函式既有單調遞增區間，又有單調遞減區間，其變化較為複雜。不過，無垂直漸近線確實說明在定義域內函式不會出現無窮大的跳躍式變化。”

二、函式的影象變換

1. 平移變換

- 設函式 g(x)=lnx\/x + a（a 為常數），這是對函式 f(x)=lnx\/x 進行垂直平移。

- 當 a＞0 時，函式影象整體向上平移 a 個單位；當 a＜0 時，函式影象整體向下平移|a|個單位。

- 分析其單調性和極值等性質。一階導數 g'(x)=(1-lnx)\/x2，與 f(x)的一階導數相同，所以單調性不變。

- 極大值也不變，只是函式影象在 y 軸上的位置發生了改變。

- 學子丙問道：“先生，此平移變換對函式的應用有何影響？”文曰：“在實際問題中，平移變換可用於調整模型的基準線。例如，在金融領域中，若考慮加入固定收益項，就相當於對函式進行垂直平移，可更好地反映實際投資情況。”

2. 伸縮變換

- 考慮函式 h(x)=ln(kx)\/x（k＞0 且 k≠1），這是對函式 f(x)=lnx\/x 進行水平伸縮變換。

- 當 k＞1 時，函式影象在 x 軸方向上被壓縮；當 0＜k＜1 時，函式影象在 x 軸方向上被拉伸。

- 求 h(x)的導數 h'(x)=[1-ln(kx)]\/x2，分析其單調性和極值。

- 令 h'(x)=0，可得極大值點為 x = e\/k。極大值為 h(e\/k)=ln(ke\/k)\/(e\/k)=lnk + 1\/e。

- 學子丁問道：“先生，此伸縮變換與之前討論的常數 k 對函式的影響有何不同之處？”文曰：“之前主要關注 k 對函式單調性和極值的影響，而這裡著重從影象變換的角度來看。透過伸縮變換，我們可以更直觀地看到函式形狀的變化，從而更好地理解函式性質隨引數變化的規律。”

三、函式與三角函式的聯絡

1. 函式與正弦函式的結合

- 考慮函式 p(x)=lnx\/x * sinx。

- 分析函式 p(x)的性質，首先求其導數 p'(x)=[(1-lnx)\/x2sinx + lnx\/xcosx]。

- 由於涉及到對數函式、正弦函式和餘弦函式的組合，分析起來較為複雜。

- 但可以透過觀察函式在不同區間的取值情況來大致瞭解其性質。

- 當 x 趨近於零時，lnx\/x 趨近於無窮小，sinx 也趨近於零，兩者乘積為無窮小乘以有界量，結果仍為無窮小，即 p(x)趨近於零。

- 當 x 趨近於正無窮時，由前面的分析可知 lnx\/x 趨近於零，而 sinx 是有界函式，所以 p(x)也趨近於零。

- 學子戊問道：“先生，此函式與正弦函式的結合，在實際中有何應用？”文曰：“在物理學中，某些波動現象可能涉及到類似的函式組合。例如，在研究電磁波的傳播時，可能會出現與對數函式和正弦函式相關