如果我們將K'的原點相對於K的運動的速度稱為v，我們就有

v=bc/a （6）

同一量值v可以從議程（5）得出，只要我們計算K'的另一點相對於K的速度，或者計算K的一點相對於K'的速度（指向負x軸）。總之，我們可以指定v為兩座標系的相對速度。

還有，相對性原理告訴我們，由K判斷的相對於K'保持靜止的單位量杆的長度，必須恰好等於由K'判斷的相對於K保持靜止的單位量杆的長度。為了看一看由K觀察x'軸上的諸點是什麼樣子，我們只需要從K對K'拍個“快照”；這意味著我們必須引入t（K的時間）的一個特別的值，例如t=0，對於這個t的值，我們從（5）的第一個方程就得到

x'=ax

因此，如果在K'座標系中測量，x'軸上兩點相隔的距離為1=x，該兩點在我們的瞬時快照中相隔的距離就是

△x=1/a （7）

但是如果從K'（t'=0）拍取快照，而且如果我們從方程（5）消去t考慮到表示式（6），我們得到

由此我們推斷，在x軸上相隔距離1（相對於K）的兩點，在我們的快照上將由距離

（7a）

表示。

但是根據以上所述，這兩個快照必須是全等的；因此（7）中的必須等於（7a）中的，這樣我們就得到

（7b）

方程（6）和（7b）決定常數a和b。在（5）中代入這兩個常數的值，我們得到第11節所提出的第一個和第四個議程：

（8）

這樣我們就得到了對於在x軸上的洛倫茲變換。它滿足條件

（8a）

再把這個結果加以推廣，以便將發生在x軸外面的事件也包括進去。此項推廣只要保留方程（8）並補充以關係式

（9）

就能得到。

這樣，無論對於座標系K或是對於座標系K'，我們都滿足了任意方向的光線在真空中速度不變的公設。這一點可以證明如下。

設在時間t=0時從K的原點發出一個光訊號。這個光訊號將按照議程

傳播，或者，如果方程兩邊取平方，按照方程

（10）

傳播。

光的傳播定律結合著相對性公設要求所考慮的訊號（從K'去判斷）應用按照對應的公式

或　r'=ct'

（10a）

傳播為了使方程（10a）可以從方程（10）推出，我們必須有

（11）

由於方程（8a）對於x軸上的點必須成立，因此我們有1=σ，不難看出，對於1=σ，洛倫茲變換確實滿足（11）；因為（11）可以由（8a）和（9）推出，因而也可以由（8）和（9）推出。這樣我們就匯出了洛倫茲變換。

由（8）和（9）表示的洛倫茲變換仍需加以推廣。顯然，在選擇K'的軸時是否要使之與K的軸在空間中相互平行是無關重要的。同時，K'相對於K的平動速度是否沿x軸的方向也是無關緊要的。透過簡單的考慮可以證明，我們能夠透過兩種變換建立這種廣義的洛倫茲變換，這兩種變換就是狹義的洛倫茲變換和純粹的空間變換，純粹的空間變換相當於用一個座標軸指向其他方向的新的直角座標系代換原有的直角座標系。

我們可以用數學方法，對推廣了的洛倫茲變換的特性作如下的描述：

推廣了的洛倫茲變換就是用x；y；z；t的線性齊次函式來表示x'；y'；z'；t'；而這種線性齊次函式的性質又必須能使關係式

（11a）

恆等地被滿足。也就是說：如果我們用這些x；y；z；t的線性齊次函式來代換在（11a）左連所列的x'；y'；z'；t'；則（11a）的左邊與其右邊完全一致。

二、閔可夫斯基四維空間（“世界”）

＇補充第17節＇

如果我們引用虛量1。ct。代替t作為時間變數，我們就能夠更加簡單地表述洛倫茲變換的特性。據此，如果我們引入

對帶撇號的座標系K'也採取同樣的方式，那麼為洛倫茲變換公式所恆等地滿足的必要條件可以表示為：

（12）

亦即透過上述“座標”的選用，（11a）就變換為這個方程。