式標以數字，而且它們也同樣可以具有任意的形狀，因此，桌面上的每一點就有一個u值和一個v值。我們把這兩個數稱為桌面的座標（高斯座標），例如圖中的P點就有高斯座標u=3；　v=1。這樣，桌面上相鄰兩點P和P'就對應於座標

P：　u；v

P'：u＋du；v＋dv

其中du和dv標記很小的數。同樣，我們可以用一個很小的數ds表示P和P'之間的距離（線間隔），好象用一根小杆測量得出的一樣。於是，按照高斯的論述，我們就有

其中g11；g12；g22是以完全確定的方式取決於u和v的量。量g11；g12；g22決定小杆相對於u曲線和v曲線的行為，因而也就決定小杆相對於桌面的行為。對於所考慮的面上的諸點相對於量杆構成一個歐幾里得連續區的情況，而且只有在這個情況下，我們才能夠簡單地按下式來畫出以及用數字標出u曲線和v曲線：

在這樣的條件下，u曲線和v曲線就是歐幾里得幾何學中的直線，並且它們是相互垂直的。在這裡，高斯座標也就成為笛卡兒座標。顯然，高斯座標只不過是兩組數與所考慮的面上的諸點的一種締合，這種締合具有這樣的性質，即彼此相差很微小的數值各與“空間中”相鄰諸點相締合。

到目前為止，這些論述對於二維連續區是成立的。但是高斯的方法也可以應用到三維、四維或維數更多的連續區。例如，如果假定我們有一個四維連續區，我們就可以用下述方法來表示這個連續區，對於這個連續區的每一個點，我們任意地把四個數x1；x2；x3；x4與之相締合，這四個數就稱為“座標”。相鄰的點對應於相鄰的座標值。如果距離ds與相鄰點P和P'相締合，而且從物理的觀點來看這個距離是可以測量的和明確規定了的，那麼下述公式成立：

其中g11等量的值隨連續區中的位置而變。唯有當這個連續區是一個歐幾里得連續區時才有可能將座標x1。。x4與這個連續區的點簡單地締合起來，使得我們有

在這個情況下，與那些適用於我們的三維測量的關係相似的一些關係就能夠適用於這個四維連續區。

但是我們在上面提出的表達ds2的高斯方法並不是經常可能的，只有當所考慮的連續區的各個足夠小的區域被當作是歐幾里得連續區時，這種方法才有可能。例如，就大理石桌面和區域性溫度變化的例子而言，這一點顯然是成立的。對於石板的一小部分面積而言，溫度在實際上可視為恆量；因而小杆的幾何行為差不多能夠符合歐幾里得幾何學的法則。因此，前節所述正方形作圖法的缺陷要到這個作圖擴充套件到了佔桌面相當大的一部分時才會明顯地表現出來。

我們可以對此總結如下：高斯發明了對一般連續區作數學表述的方法，在表述中下了“大小關係”（鄰點間的“距離”）的定義。對於一個連續區的每一個點可標以若干個數（高斯座標），這個連續區有多少維，就標多少個數。這是這樣來做的：每個點上所標的數只可能有一個意義，並且相鄰諸點應該用彼此相差一個無窮小量的數（高斯座標）來標出。高斯座標系是笛卡兒座標系的一個邏輯推廣。高斯座標系也可以適用於非歐幾里得連續區，但是隻有在下述情況下才可以，即相對於既定的“大小”或“距離“的定義而言，我們所考慮的連續區的各個小的部分愈小，其表現就愈象一個真正的歐幾里得系統。

26．狹義相對論的空時連續區可以當作歐幾里得連續區

現在我們已有可能更嚴謹地表述閔可夫斯基的觀念，這個觀念在第17節中只是含糊地談到一個。按照狹義相對論，要優先用某些座標系來描述四維空時連續區。我們把這些座標系稱為“伽利略座標系”。對於這些座標系，確定一個事件或者換言之確定四維連續區中一個點所用的四個座標x；y；z；t；在物理意義上具有簡單的定義，這在一書第一部分已有所詳述。從一個伽利略座標過渡到相對於這個座標系作勻速運動的另一個伽利略座標系時，洛倫茲變換方程是完全有效的。這些洛倫茲變換方程構成了從狹義相對論匯出推論的基礎，而這些議程的本身也只不過是表述了光的傳播定律對於一切伽利略參考系的普適有效性而已。

閔可夫斯基發現洛倫茲變換滿足下述簡單條件。我們考慮兩個相鄰事件，這兩個事件在四維連續區中的相對位置，是參照伽利略參考物體K用空間座標差dx；dy；dz和時間差dt來表示的。我們假定這兩具事件參照另一個伽利略座標系的差相應地dx'