定兩個對應點A和B，使其在一特定時刻，恰好各為A’和B’所透過（由路基判斷）。路基上的且點和日點可以引用第8節所提出的時間定義來確定，然後再用量杆沿著路基一下一下地量取A、B兩點之間的距離。

從先驗的觀點來看，絲毫不能肯定這次測量的結果會與第一次在火車車廂中測量的結果完全一樣。因此，在路基上量出的火車長度可能與在火車上量出的火車長度不同，這種情況使我們有必要對第6節中從表面上看來是明白的論述提出第二個不同意見。就是，如果在車廂裡的人在單位時間內走了一段距離w（在火車上測量的），那麼這段距離如果在路基上測量並不一定也等於w。

11．洛倫茲變換

上面最後三節的結果表明，光的傳播定律與相對性原理的表面牴觸（第7節）是根據這樣一種考慮推匯出來的，這種考慮從經典力學借用了兩個不確當的假設；這兩個假設就是：

（1）兩事件的時間間隔（時間）與參考物體的運動狀況無關。

（2）一剛體上兩點的空間間隔（距離）與參考物體的運動

如果我們捨棄這兩個假設，第7節中的兩難局面就會消失，因為第6節所匯出的速度相加定理就失效了，看來真空中光的傳播定律與相對性原理是可以相容的，因此就產生這樣的問題：我們必須如何修改第6節的論述以便消除這兩個基本經驗結果之間的表面矛盾，這個問題導致了一個普遍性問題。在第6節的討論中，我們既要相對於火車又要相對於路基來談地點和時間，如果我們已知一事件相對於鐵路路基的地點和時間，如何求出該事件相對於火車的地點和時間呢？對於這個問題能否想出能使真空中光的傳播定律與相對性原理不相牴觸的解答，換言之：我們能否設想，在各個事件相對於一個參考物體的地點和時間與各該事件相對於另一個參考物體的地點和時間之間存在著這樣一種關係，使得每一條光線無論相對於路基還是相對於火車，它的傳播速度都是c呢？這個問題獲得了一個十分明確的肯定解答，並且導致了用來把一個事件的空一時量值從一個參考物體變換到另一個參考物體的一個十分明確的變換定律。

在我們討論這一點之前，我們將先提出需要附帶考慮的下列問題。到目前為止，我們僅考慮了沿著路基發生的事件，這個路基在數學上必須假定它起一條直線的作用。如第2節所述，我們可以設想這個參考物體在橫向和豎向各予補充一個用杆構成的框架，以便參照這個框架確定任何一處發生的事件的空間位置。同樣，我們可以設想火車以速度”繼續不斷地橫亙整個空間行駛著，這樣，無論一事件有多遠，我們也都能參照另一個框架來確定其空間位置。我們儘可不必考慮這兩套框架實際上會不會因固體的不可入性而不斷地相互干擾的問題；這樣做不致於造成任何根本性的錯誤，我們可以設想，在每一個這樣的框架中，劃出三個互相垂直的面，稱之為“座標平面”（在整體上這些座標平面共同構成一個“座標系”）。於是，座標系K對應於路基，座標系K’對應於火車。一事件無論在何處發生，它在空間中相對於K的位置可以由座標平面上的三條垂線x；y；z來確定，時間則由一時間量值：來確定，相對於K'，此同一事件的空間位置和時間將由相應的量值x'；y'；z'；t'來確定，這些量值與x；y；z；t當然並不是全等的。關於如何將這些量值看作為物理測量的結果，上面己作了詳細的敘述。

顯然我們面臨的問題可以精確地表述如下，若一事件相對於K的x；y；z；t諸量值為何？在選定關係式時，無論是相對於K或是相對於K'，對於同一條光線而言（當然對於每一條光線都必須如此）真空中光的傳播定律必須被滿足。若這兩個座標系在空間中的相對取向如圖2所示，這個問題就可以由下列議程組解出：

這個議程組稱為“洛倫茲變換”。

如果我們不根據光的傳播定律，而根據舊力學中所隱含的時間和長度具有絕對性的假定，那麼我們所得到的就不會是上述方程組，而是如下的方程組：

x'=x…vt

y'=y

z'=z

t'=t

這個方程組稱為“伽利略變換”，在洛倫茲變換方程中，我們如以無窮大值代換光速c，就可以得到伽利略變換方程。

透過下述例示，我們可以很容易地看到，按照洛倫茲變換，無論對於參考物體K還是對於參考物體K'，真空中光的傳播定律都是被滿足的。例如沿著正x軸發出一個光信