數中，有一元二次方程兩個根的對稱、方程的對稱函式，甚至還有專門關於對稱性的數學理論——群論。

最簡單的數學對稱：正數與負數對稱，奇數與偶數對稱，有理數與無理數對稱，實數與虛數對稱，加法運算和減法運算對稱，乘法運算和除法運算對稱，根號運算和冪運算對稱。

結論：數學的基礎是對稱的，數學的規律也是對稱的。

2．物理對稱

在物理學，特別是晶體學中，對稱是有嚴格的定義。光有相同部分並不一定是對稱，對稱是指有規律的重複。

晶體中的原子數目很大而且有嚴格的空間排列，因此只需要畫部分的原子排列影象就能代表晶體結構。對此影象進行操作，如操作後的影象與原影象無法區分，則稱之為對稱。這類操作可以是平移、旋轉、映象和它們的複合操作，而操作所得的對稱被稱為：平移對稱、旋轉對稱、映象對稱等。

通常晶體中的原子排列有周期性，可用三個座標軸的晶胞單元來體現。沿座標軸每平移一單元，平移後的影象與原圖完全重合，這種操作可繼續下去，這就是平移對稱。如在原子排布空間取一根直線為旋轉軸，當轉至360°/n（n為正整數）時，此空間排布與原排布完全重合，表示符合對稱操作。繼續操作，應可重複n次，稱作n次對稱或n重對稱。如雪花有六重對稱。

在晶體中，既要滿足五重對稱，又要滿足平移對稱是不可能的。在生物界，五重對稱的花很多，因為它不需要滿足平移對稱。

長期以來，物理學家們所信守的準則是：與一個醜陋的數學理論相比，一個優美的數學理論更有可能是真的。奇怪的是，對自然規律中對稱的追尋不但沒有使人類誤入歧途，反而對宇宙的秘密有了最基本的認識。

“作用力等於反作用力”在機械學中佔統治地位；在數軸上，與正數相對的是負數，它們如同孿生兄弟一般；在粒子的世界裡，物理學家們的信條也是正確的。正是因為確信對稱的存在，1928年英國物理學家保羅&amp；#8226；狄拉克才提出存在反物質的假設，並且這個假設在以後科學實驗中被證明是正確的：1932年，人們在宇宙射線中首次發現了反物質粒子的存在。

結論：對稱是物理學研究的基本形式。

3．規律對稱

以牛頓定律為例，無論怎麼轉動物體，物體的運動都遵從牛頓定律，因此，牛頓定律具有旋轉對稱性；鏡子裡和鏡子外物體的運動都遵從牛頓定律，牛頓定律又具有映象對稱性；物體在空間中任意移動後，牛頓定律仍然有效，牛頓定律也具有空間平移對稱性；在不同的時間，昨天、今天或明天，物體的運動也都遵從牛頓定律，牛頓定律還具有時間平移對稱性……其他的物理定律也都有類似的情況。

對稱性常常使得我們不必精確地求解就可以獲得一些知識，使問題得以簡化。例如，一個無阻力的單擺擺動起來，其左右是對稱的。因此，不必求解就可以知道，向左邊擺動的高度與向右邊擺動的高度一定是相等的，從正中間擺動到左邊最高點的時間一定等於擺動到右邊最高點的時間，左右兩邊相應位置處單擺的速度和加速度也一定是相同的……

物理定律的這些對稱性其實也意味著物理定律在各種變換條件下的不變性，由物理定律的不變性，我們可以得到一種不變的物理量，叫守恆量，或叫不變數。

例如，空間旋轉最重要的引數是角動量，如果一個物體是空間旋轉對稱的，它的角動量必定是守恆的，因此，空間旋轉對稱對應於角動量守恆定律。再如，如果把瀑布水流功率全部變成電能，在任何時候，同樣水流的發電功率都是一樣的，這個能量不會隨時間的改變而改變，因此，時間平移對稱對應於能量守恆。還有，空間平移對稱對應於動量守恆，電荷共軛對稱對應於電量守恆，如此等等。

物理定律的守恆性具有極其重要的意義，有了這些守恆定律，自然界的變化就呈現出一種簡單、和諧、對稱的關係，也就變得易於理解了。科學家在科學研究中，對守恆定律有一種特殊的熱情和敏感，一旦某一個守恆定律被公認後，人們是極不情願把它推翻的。

因此，當我們明白了各種對稱性與物理量守恆定律的對應關係後，也就明白了對稱性原理的重要意義，無法設想：一個沒有對稱性的世界，物理定律也變動不定，那該是一個多麼混亂、令人手足無措的世界！

物理定律對稱性與物理量守恆定律的對應關係，是一位德國女數學家艾米&amp；#8